Trabajo como producto de F y Dx

Trabajo es el producto entre los vectores fuerza total aplicada F y desplazamiento Dx. Como es un producto de vectores, el trabajo depende entonces del ángulo de aplicación de la fuerza F respecto al vector desplazamiento. Pero el trabajo es un número no un vector, ya que en un piso es uniforme, haríamos el mismo esfuerzo para arrastrar una caja por el piso hasta una distancia de 2 metros cualquier dirección, es decir no depende de la dirección. Con esto hemos identificado un tipo especial de producto entre vectores; se le llama el producto escalar. El trabajo también se define como el área bajo la curva en una gráfica de fuerza vs. posición.

Trabajo en satélites

Una aplicación del producto escalar se puede ver en el estudio del movimiento de satélites. Analicemos la ecuación cinemática: F. Dx=D(mv2/2).

La fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza de la Tierra. El desplazamiento es tangencial a la órbita circular del satélite por lo cual ambas fuerzas forman 900. Ya que el cos (90)=0 se obtiene:

 

                                         F. Dx= FDx cos (90) = 0,

donde q es el ángulo entre los dos vectores F y Dx (los vectores se escriben en negrita (F), el valor se escribe F).

 

El resultado es que el producto de dos vectores F y Dx que no son cero, da como resultado cero. La explicación es similar a cuando encontramos que la suma de una fuerza de 3 unidades perpendicularmente con otra fuerza de 4 unidades daba como resultado una fuerza de 5 unidades. En ese entonces descubrimos una operación de vectores: la suma. Ahora hemos encontrado una nueva operación entre vectores: el producto. Se le llama producto escalar.

 

Con lo anterior la ecuación se vuelve F.Dx=D(mv2/2) = 0; Dv2=vf2-vi2=0 implica que la velocidad es constante entre cualquiera dos puntos de la órbita del satélite. Esto indica que la fuerza  de la Tierra no cambia el valor de la velocidad, sólo cambia su dirección. La fuerza de la Tierra solo hace trabajo para cambiar la dirección de la velocidad del satélite. En otras palabras se puede decir que la Tierra no cambia la cantidad D(mv2/2) en el satélite (su energía cinética).

 Ejemplo: una persona hala una caja con una fuerza de 5 N por una distancia de 2 m; calcular el trabajo si la fuerza forma un ángulo de 300 respecto a la horizontal.

W=FDx cos (30)

  = 5N(2m)(0.866)

  =8.66 Nm = 8.7 Julios.

Ejercicio: La fuerza de fricción entre un piso y una caja es de 5 Lb (~22N).  

1. Diga cuánto es la mínima fuerza horizontal que debe hacer para arrastrar a la caja .

2. Encuentre cuánto es la mínima fuerza  total que usted debe aplicar para arrastrar la caja con un ángulo de 60 grados respecto de la horizontal (piso).

3. Calcule el trabajo que hizo si movió esta caja hasta 2 m más adelante.