Area bajo la curva

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ÁREA BAJO LA CURVA

REQUISITOS interpretación de gráficas, área, aceleración. Consulta el libro de la clase (p. 49).

OBJETIVO encontrar una ecuación general de movimiento, según el método empleado por un matemático francés hacia el año 1350.

PREGUNTA: escribe cómo se puede calcular la distancia total recorrida por un móvil si se tiene datos de su velocidad como función del tiempo.

El desplazamiento se obtiene calculando el área total bajo la curva de velocidad vs. tiempo.

SITUACIÓN: A los t_i segundos vemos que un automóvil pasa frente a nosotros con una velocidad v_i y continúa aumentando hasta una velocidad v_f que adquiere a los t_f s. La figura siguiente ilustra esta situación:

El dibujo muestra la gráfica de velocidad vs. tiempo de un objeto o móvil (línea sólida).En esta gráfica se pueden identificar un rectángulo y un triángulo. Por curiosidad calculemos el área total de estas dos figuras (a esto se llama el área bajo la curva de v vs. t).

Usa este procedimiento:

1. Escribe la expresión matemática para calcular el área total bajo la curva de velocidad vs. tiempo. Observa en la gráfica que esta área se forma a partir de las áreas del rectángulo y del triángulo que se forman (encuentra las áreas del rectángulo y del triángulo y súmalas).

ADVERTENCIA: para calcular el área advierte que las unidades de los lados horizontal y vertical de las figuras son s y m/s, respectivamente. La altura del triángulo es Dt y su base es Dv.

El área total A: v1dt + 1/2dvdt Como a=dv/dt, despejamos: adt=dv y reemplazamos esto en la anterior expresión.

2. Combina el área total obtenida, con la definición de aceleración promedio. Reorganiza la expresión y recuerda las unidades (la expresión debe expresarse sólo en términos de a, Dt y v_i.

v1dt+ 1/2(adt)dt o también v1t+1/2at^2. Esta es la ecuación de DESPLAZAMIENTO!

3. Examina la unidad del área calculada y escríbela

El método de áreas ilustrado aquí es muy útil en las ciencias y se llama calcular el área bajo la curva. Hacer esto da información adicional del problema que se estudia. El mismo fué ideado por un científico casi 200 años antes que Newton inventara otra forma de calcular áreas usando integrales. El método usado aquí es geométrico. En el presente ejemplo el área bajo la curva de v vs. t es igual al desplazamiento del objeto.

Referencias:

Benson, H.; University Physics, Rev. Edition; John Wiley & Sons (1996).

J. Wilson, A. Buffa, Física, 5ta edición; Pearson Prentice Hall, México, (2003).